Metode Regula False

Metode Regula Falsi.

Solusi akar (atau akar-akar) dengan menggunakan Metode Regula-Falsi merupakan modifikasi dari Metode Bisection.

            Metode Regula Falsi merupakan salah  satu metode tertutup untuk menentukan solusi akar dari persamaan non-linier, dengan prinsip utama sebagai berikut:

a. Menggunakan garis scan(garis lurus yang menghubungkan 2 koordinat nilai awal terhadap kurva) untuk mendekati akar persamaan non-linier.

b.Taksiran nilai akar selanjutnya meruupakan titik potong garis scan dengan sumbu X

Atau dengan kata lain, Metode regula falsi adalah metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range. Metode ini bekerja secara iterasi dengan melakukan update range.

Pada umumnya pencarian akar dengan menggunakan metode biseks selalu dapat menemukan akar, tetapi kecepatan untuk mencapai akar hampiran sangat lambat. Untuk mempercepat pencarian akar tersebut, maka nilai-nilai dari f (a) dan f (b) perlu diperhitungkan. Metode yang memanfaatkan dan f (a) dan f (b) ini adalah metode regula falsi (metode titik palsu).

Perhatikanlah Gambar di bawah ini,

Metode ini sebenarnya mirip dengan metode biseksi dalam interval – interval [a_n,b_n ], seperti terlihat pada gambar 4.1, [a,b] ® [a,c₁ ] ® [a,c₂] ® [c₃,c₂], dan seterusnya sampai mendekati s (akar sejati) dengan ketentuan b_n-a_n|< ε sebagai kriteria berhentinya.

Pencarian interval baru mengikuti rumus,

Prinsip:

Di sekitar akar fungsi yang diperkirakan, anggap fungsi merupakan garis lurus Titik tempat garis lurus itu memotong garis nol ditentukan sebagai akar fungsi.

Asumsi awal yang harus diambil adalah sama seperti pada Metode Bisection, yaitu: ‘menebak’ interval awal [a,b] dimana f(x) adalah kontinu padanya, demikian pula interval tersebut harus terletak ‘mengapit’ (secara intuitif) nilai akar a, sedemikian rupa sehingga:

f (a) × f (b) ≤ 0

Meskipun pada algoritma berikut masih mengandung beberapa kelemahan, namun secara umum masih sangat menguntungkan untuk dipakai. Perbaikan dan modifikasi secara numeris dilakukan oleh Brent untuk algoritma tersebut.

Metode Regula Falsi disebut juga metode Interpolasi Linear yaitu metode yang digunakan untuk mencari akar- akar persamaan nonlinear melalui proses iterasi dengan persamaan 2.1:

Atau dengan kata lain, titik pendekatan yang digunakan oleh metode regula-falsi adalah:

Algoritma Metode Regula Falsi
1.Definisikan fungsi f(x)
2.Tentukan batas bawah(a) dan batas atas (b)
3.Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum(n)
4.Hitung fa= fungsi(a) dan fb= fungsi(b)
5.Untuk iterasi I = 1 s/d n atau error > e 6.x = Hitung fx= fungsi(x)
7.Hitung error = fx
8.Jika fx.fa<0 maka b = x dan fb = fx, jika tidak a = x dan fa= fx.
9.Akar persamaan adalah x.

Contoh dan cara penyelesaian

Carilah penyelesaian dari persamaan nonlinear di bawah ini dengan metode Regula Falsi:

f(x) = x³ + x² - 3x - 3 = 0

Penyelesaian:

Langkah 1: Menentukan dua titik nilai f(x) awal, f(x1) dan f(x2) dan harus memenuhi hubungan f(x1)*f(x2)<0. misalkan nilai x1 = 1 dan x2 = 2.

f(x1)= 1³ + 1² - 3(1) – 3 = -4

f(x2)= 2³ + 2² - 3(2) – 3 = 3

Di dapat F(x1)*f(x2)<0 maka titik penyelesaian berada di antara nilai x1 = 1 dan x2 = 2.

Langkah 2: mencari nilai x3 dengan persamaan 2.1:

Dan f(x3)= 1.57142³ + 1.57142 ² - 3(1.57142) – 3 = -1.3644314869

Langkah 3: Melakukan Iterasi dengan persamaan 2.1 pada hasil langkah 2 nilai f(x3) hasilnya negative, dan untuk memnentukan nilai x4 harus f(xa*f(xb)<10 maka yang memenuhi syarat nilai yang digunakan yaitu x2 dan x3 karena nilai f(x2)*f(x3)<0 maka :

Dan f(x4= 1.70541³ + 1.70541² - 3(1.70541) – 3 = -0.247745

Iterasi selanjutnya mencari nilai x5 dan f(x5) dan begitu seterusnya sampai didapatkan nilai error lebih kecil dari 10^-7. Maka dari hasil perhitungan didapatkan nilai x = 1.7320508074.

dengan nilai errornya f(x)= 2.0008883439E-09
read more about Numerical Methods in Web IAIN SNJ CIREBON Or Web Departemen of Mathematic

Daftar Pustaka

http://gofar.files.wordpress.com/2007/09/modul-numerik1.pdf

http://seizes.blogspot.com/2010/01/metode-biseksi-teori-singkat-metode.html

http://hamami-hamami.blogspot.com/search/label/materi%20dan%20contoh%20soal%20UTS